Russel, Cantor, Gödel und Kollegen

Comics sind nur etwas für Kinder. Alle Comics? Nein, denn man kann ja auch komplexere Geschichten als gallisches-Dorf-verprügelt-Römer erzählen. So erzählt zum Beispiel Logicomix die Geschichte, wie die Grundlagen der Mathematik gelegt wurden in der Form eines Comics. Das hört sich jetzt nach einer wirklich uralten (Euklid, Pythagoras und die ganzen Griechen und so) und staubtrockenen (Mathe löst ja bei vielen schon einen Fluchtreflex aus) Geschichte an, ist aber weder das eine noch das andere. Denn genaugenommen war bis ins neunzehnte Jahrhundert hinein die Mathematik mehr oder weniger auf Sand gebaut. Denn zum Beispiel war der Begriff "unendlich" nur so definiert, wie wir Physiker ihn noch heute gebrauchen -- eben als verdammt große Zahl. Und so sind die Grundlagen der Mathematik eine doch Recht neue Geschichte.

Auftritt Cantor: Cantor entwickelte gegen Ende des neunzehnten Jahrhundert die Mengentheorie. Wobei eine "Menge" eine in Cantors Worten wie folgt definiert ist:

Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen.

Zwei Mengen haben nun die gleiche Anzahl von Elementen -- man spricht hier auch von "Mächtigkeit" -- wenn man jedem Element der einen Menge eindeutig ein Element der anderen Menge zuordnen kann. So gelang es Cantor zu zeigen, dass es verschiedene Arten von Unendlichkeit gibt. So hat zum Beispiel die Menge aller geraden Zahlen die gleiche Mächtigkeit wie die Menge aller ganzen Zahlen (Integer), da man jeder geraden Zahl ja eine ganze Zahl zuordnen kann -- zwei ist die erste gerade Zahl, vier die zweite und so weiter. Somit ist also die Menge der geraden Zahlen "abzählbar". Ist das nun schon alles? Nein, denn es gibt Mengen, die "überabzählbar" sind, also Mehr Elemente haben als die natürlichen Zahlen. Beispiel gefällig? Zum Beispiel alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Das kann man einfach durch "reductio ad absurdum" beweisen. Sprich, wir zeigen, dass wenn wir die Aussage als wahr annehmen, in einen Widerspruch geraten. Nehmen wir also an, wir könnten also alle rellen Zahlen zwischen 0 und eins abzählen. So zum Beispiel: 0.234324324 ...-> 1, 0.483543859...-> 2, 0.7777777777... -> 3 und so weiter. Nehmen wir uns jetzt die Zahl vor, deren erste Ziffer um eins größer ist als die erste Ziffer der ersten Zahl, die zweite Ziffer um eins größer ist als die zweite Ziffer der zweiten Zahl usw., sprich 0.398... Haben wir diese Zahl schon gezählt? Nein, diese Zahl stimmt nie mit allen Ziffern der gezählten Zahlen überein. Daher muss es also mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen geben. Und damit war auch gezeigt, dass "unendlich ist eine verdammt große Zahl" nicht eine mathematisch Korrekte Definition ist.

Mit der Mengentheorie kommen wir auch zu Bertrand Russel, der so etwas wie die Hauptperson von Logicomix ist. Genaugenommen bildet ein von ihm gehaltener Vortrag, in dem er sowohl sein eigenes Leben als auch die Entwicklung der mathematischen Grundlagen betrachtet, den Rahmen der ganzen Geschichte. Der Comic folgt ihm bei seinen Besuchen bei Cantor und Frege (einem anderen Grundsteinleger der Mathematik) und seinen eigenen Forschungen dazu. Denn die Mengenlehre half zwar, genau zu definieren, was unendlich bedeutet, doch ein neues Problem wurde durch Russel entdeckt: Russels Paradox. Denn nach dem damaligen Stand der Dinge, gerät man in Widersprüche, wenn man die Menge aller Mengen betrachtet, die sich nicht selbst enthalten. Denn diese Menge müßte sich ja dann auch selbst enthalten. Autsch, da scheint etwas nicht zu stimmen. Russels Beitrag zur Mathematik bestand nun darin, diesen Widerspruch zu lösen und in ungefähr vierhundert Seiten der "Principia Mathematica" zu beweisen, dass 1+1=2 ist. Das aber sauber und logisch konsistent.

Logicomix und auch die Entdeckung der Grundlagen der Mathematik schließen mit Kurt Gödel, der 1935 seinen "Unvollständigkeitssatz" bewies. Anfang des Jahrhunderts hatte David Hilbert noch vorgeschlagen, dass man die Widerspruchsfreiheit logischer Systeme beweisen sollte. Sprich, zu beweisen, dass es man rein hypothetisch jede Aussage beweisen oder wiederlegen kann. Doch Gödel konnte nun zeigen, dass jedes System von Axiomen (Grundannahmen) Aussagen zuläßt, die weder bewiesen noch wiederlegt werde können.

Nun, um zu einem Schluss zu kommen: Ich fand Logicomix richtig unterhaltsam und habe vielleicht noch das ein oder andere (wieder)gelernt. Auf jeden Fall erfährt man einiges über Mathematik und diejenigen, die selbige betreiben. Und da es ja ein Comic ist, ist es einfach zu lesen. Leider zu einfach, denn ein knapper Nachmittag reicht um einmal Logicomix durchzulesen.
Und für mathematische Laien, die bis hierher gekommen sind: Es ist sicherlich kein Fachbuch -- dennn DAS wäre sicherlich revolutionär, ein Fachbuch in comicform.
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Apostolos Doxiadis, Christos Papadimitriou, Alecos Papadatos, Anni de Donna: Logicomix, Bloomsbury Publishing

www.logicomix.com

Zu "Schön" um wahr zu sein

Im Wintersemester 2002/2003 hörte ich Festkörperphysik bei Prof. Bucher in Konstanz. Prof. Bucher war damals das wohl prominenteste Mitglied des Fachbereichs Physik, mit etlichen Weltrekorden auf dem Gebiet der Solarzellenentwicklung. Leider lief ihm damals einer seiner ehemaligen Doktoranden -- Jan Hendrik Schön -- als berühmtester Physiker mit Konstanz-Connection den Rang ab. Und das war nicht gut, denn Schön wurde dadurch prominent, dass er -- um ein sehr stark strapaziertes Wortspiel zu benutzen -- Daten geschönt hatte. Immerhin brachte es ihm so eine Prominenz ein, dass es jetzt sogar ein Buch über den von ihm verursachten Forschunsskandal gibt (Eugenie Samuel Reich: Plastic Fantastic).

Schön promovierte 1997 in Konstanz und wechselte dann zu den Bell Labs in New Jersey. Die Bell Labs haben (vielleicht muss man eher sagen "hatten") einen beinahe mysthischen Ruf: So wurde dort zum Beispiel die Radioastronomie begründet (Jansky, 1932), der Transistor entwickelt (Shockley, 1947) und die kosmische Hintergrundstrahlung entdeckt (Arno und Penzias, 1962). Also kurz: ein großartiger Schritt für einen frisch gebackenen Doktor der Physik. Jedoch waren die Bell Labs Ende der neunziger, Anfang der 2000er Jahre in einer tiefen Krise, nachdem sie erst von AT&T an Lucent verkauft, dann weiter aufgespalten wurden und die Grundlagenforschung mehr und mehr zurückgefahren wurde.

Es ist schwer zunächst schwer zu begreifen, wie es Schön gelang nicht nur die Fachwelt, sondern selbst seine Koautoren hinters Licht zu führen. Aber im Laufe des Buchs wird es einem klar, dass Schön geschickt Lücken nutzte und eben Ergebnisse lieferte, die einfach erstklassig zu sein schienen. Ich kann mir gut vorstellen, dass seine Vorgesetzten bei den Bell Labs jede Meldung liebend für ihre Zwecke nutzten -- um eben in wirtschaftlich schweren Zeiten weiterhin die Grundlagenforschung zu rechtfertigen. Auch nutzte Schön weiterhin Ausrüstung in Konstanz, um einen entscheidenden Bearbeitungsschritt durchzuführen (das Aufbringen der elektrischen Kontakte auf die Kunststoffkristalle, die er untersuchte) . Auf jeden Fall hatten seine Aktivitäten in Konstanz den netten Nebeneffekt, dass er dort ungestört arbeiten konnte -- oder besser gesagt fälschen konnte, denn der in Konstanz durchgeführte Bearbeitungsschritt stellte sich als fiktiv heraus. Denn offiziell war er ja nicht mehr Mitglied am Lehrstuhl Bucher noch arbeitete er an relevanten Fragen für diesen. Und da seine Mitautoren in New Jersey in den Bell Labs sassen, war auch die Wahrscheinlichkeit gering, dass einer von ihnen mal vorbeischauen würde -- "show me how it works, buddy". Kurz gesagt, eine ideale Konstellation um Forschung zu fälschen.

Schön's Fehlverhalten wurde -- wie so oft bei unehrlichem Verhalten -- durch eine gute Mischung von Übertreibung und Nachlässigkeit von Seiten Schöns bemerkt. Zum einen veröffentlichte er bis zu sieben (!) Artikel im Monat -- größtenteils in den sehr angesehen Zeitschriften Nature und Science --, zum anderen beging er offensichtliche Nachlässigkeitsfehler bei seinen Fälschungen, z.B. benutzte nicht zutreffende theoretische Modelle um seine "Meßdaten" zu fabrizieren oder nutzte die gleichen Messwerte für total verschiedene Experimente. Also Dinge, die einfach den Experten früher oder später auffallen mussten.

Leider, aber das geht wohl nicht anders da natürlich Schön für dieses Buch nicht zur Verfügung stand, erfährt man relativ wenig über ihn und seine Gedanken und Motive. Ich kann mir aber gut vorstellen, dass er darauf spekulierte, dass seine Ergebnisse von anderen reproduziert würden und er quasi als Pionier eines Fachgebiets in die Geschichte eingehen würde. Doch muss ihm aber auch von Anfang an klar gewesen sein, welche Risiken sein Verhalten trägt. Von den schlaflosen Nächten, die ich wegen meiner (ehrlichen!) Forschungsarbeit habe, gehe ich davon aus, dass er unter enormen Stress gestanden haben muss -- wenn zu den üblichen Sorgen ("Macht es Sinn, was ich mache?", "Hat das schon jemand gemacht?" etc. etc.) noch die Angst vor der Aufdeckung hinzukommt.

Das schlimmste an Forschungsskandalen ist meiner Meinung nach nicht das Verbreiten falscher Resultate, denn das wird früher oder später -- wenn sich die Experimente nicht reproduzieren lassen -- aufgedeckt, sondern darin, dass wissentlich die Karrieren von anderen Wissenschaftler geschadet wird. Denn Fälschungen wie die von Schön führen dazu, dass etliche Doktoranden buchstäblich Jahre darauf verwenden, Ergebnisse zu reproduzieren, die es noch nie gab. Mit allen Konsequenzen wie Frustration, wenigen Publikationen und so weiter.

Was noch ganz nett an Reich's Buch war, ist dass etliche Leute darin auftauchen, die ich kenne. Neben Prof. Bucher noch Prof. Dieterich in Konstanz(er leitete die Konstanzer Untersuchungskommission, ich habe bei ihm meine Diplomprüfung abgelegt) sowie Leo Kouwenhoven und Teun Klapwijk in Delft. Und Schön? Das letzte mal war er in den Nachrichten, als die Universität Konstanz letzten Herbst beschloss, ihm endgültig den Doktortitel abzuerkennen -- nicht, weil er bei seiner Doktorarbeit schon gefälscht hatte, sondern weil er sich des Tragens des Titels als unwürdig erwiesen hat. Und das hat er in der Tat.
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Eugenie Samuel Reich: Plastic Fantastic -- How the biggest fraud in physics
shook the scientific work

Oder auch: Andrea Neica-Loebell, Schön die Wissenschaft zum Narren gehalten, Telepolis (2002)

Der Tag, an dem wir das Universum entdeckten

Ich habe gerade zwei sehr interessante populärwissenschaftliche Bücher über Kosmologie gelesen: "Big Bang" von Simon Singh (der auch das sehr lesenswerte Buch über Fermats letzen Satz geschrieben hat) und "The day we discovered the universe" von Marcia Bartusiak. Beide Bücher zeichnen den Weg der Entdeckungen nach, die zu unserem heutigen Bild des Kosmos geführt haben. Martusiak's Buch konzentriert sich dabei auf die Entwicklungen in der Astronomie ab Ende des 19. Jahrhunderts bis zu Hubbles Entdeckung der Rotverschiebung entfernter Galaxien im Jahr 1929, während Singh einen großen Bogen von den alten Griechen über Kopernikus und Galilei hin zu Hubble, der Entdeckung der kosmischen Hintergrundstrahlung und neuesten Erkenntnissen aus den COBE und WMAP Kampagnen spannt. Doch alles der Reihe nach.

Lassen wir doch die Geschichte in der Ende des achtzehnten Jahrhunderts beginnen. Herschel konnte damals erstmals Nachweisen, dass unsere Sonne Teil einer größeren Ansammlung von Sternen ist -- unsere Milchstrasse -- und deren Größe abschätzen. Doch ungefähr zur gleichen Zeit wurden immer mehr nebelartige Gebilde entdeckt. Was waren diese Objekte? Waren sie ein Teil unserer Milchstrasse und stellte die Milchstrasse damit das ganze Universum dar? Oder waren sie eigenständige Galaxien?

Eine wichtige Entdeckung auf ganz anderem Gebiet sollte sich als sehr hilfreich erweisen. Henrietta Leavitt, die Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts als "Computer" am Harvard Observatorium arbeitete, entdeckte bei der Auswertung von Beobachtungsdaten von variablen Sternen (d.h. Sterne
deren Helligkeit sich mit der Zeit ändert, genauer waren es hier Cepheiden) in der Magellanschen Wolke, dass die Periode ihrer Helligkeitsänderung proportional zu ihrer absoluten Helligkeit war. Sprich je heller ein cepheiden Veränderlicher ist, desto länger die Periodendauer.

Um die Geschichte einigermassen kurz zu halten, kommt nun der Auftritt von Edwin Hubble, der 1919 eine Stelle als Astronom am Mt. Wilson Observatorium in Kalifornien antrat. Zufälligerweise ging dort gerade das leistungsfähigste Teleskop der Welt in Betrieb und Hubble war entschlossen, damit die Frage zu klären, ob die mysteriösen Nebel nun Teil der Milchstrasse waren oder nicht. Ihm gelang es, einige dieser Nebel in Sterne aufzulösen und einige davon als Cepheiden zu identifizieren. Durch die Periodendauer der Helligkeitsschwankung konnte er auf die absolute Helligkeit schliessen. Mit der gemessenen Helligkeit und der Tatsache, dass die Helligkeit eines
Objektes mit dem Quadrat der Entfernung abnimmt, konnte Hubble die Entfernung dieser Sterne und damit des Nebels bestimmen. Ergebnis: Die bisherigen Nebel sind eigenständige Galaxien weit außerhalb unserer Milchstrasse.

Eigentlich reicht solch eine Entdeckung für ein Forscherleben schon aus, doch Hubble konnte diese vier Jahre später noch einmal toppen: Er wies nach, dass je weiter eine Galaxie von uns entfernt ist, desto rotverschobener ihr Licht ist. Was das bedeutet, kennt man eigentlich aus der Alltagserfahrung eines Krankenwagens, der an einem vorbeifährt. Kommt der Krankenwagen auf einen zu, so ist der wahrgenommene Tonlage der Sirene etwas höher, entfernt sich der Krankenwagen, so ist die Tonlage etwas niedriger. Sprich, eine Verschiebung der Tonlage und damit der Wellenlänge ist ein Maß für die Geschwindigkeit eines zu- oder fortbewegenden Objektes. Gleiches trifft nicht nur für Schallwellen zu, sondern auch für Licht. Rotverschiebung bedeutet hier eine Verschiebung zu einer längeren Wellenlänge hin und damit eine Fortbewegung der Galaxien. Doch was bewegt sich hier eigentlich fort? Es ist nicht so, dass sich die Galaxien fortbewegen, wie sich ein fortgeworfener Ball fortbewegt. Vielmehr folgt aus Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie, dass sich vielmehr der Raum selbst ausdehnt -- eine Folgerung, die Einstein zwar Jahre vor Hubble theoretisch erreichte, doch zunächst nicht wahrhaben wollte. Damit war ein erstes Indiz erbracht, dass das Universum vor einigen Milliarden Jahren in einem Punkt konzentriert war und sich dann auszudehnen begann -- es gab also einen Big Bang.

In den nächsten Jahrzehnten mußten jedoch noch einige Fragen beantwortet werden, bevor die Big Bang Theorie wissenschaftlicher Konsens wurde -- so war die Entstehung der Elemente ebenso wie das Paradoxon zu klären, dass die Erde scheinbar älter war als das Universum (letzteres beruhte auf falschen Messungen...). Eine endgültige Bestätigung des Big Bangs wurde in den sechziger Jahren erbracht, als Wilson und Penzias die kosmische Hintergrundstrahlung -- eine Art "Nachglühen" des Big Bangs -- entdeckten. Da die Big Bang Theorie diese korrekt und alternative Theorien gar nicht
vorausgesagt hatten ging damit Spiel, Satz und Match (vorläufig, nichts ist sicher in der Wissenschaft) an den Big Bang.

Ist somit alles wesentliche über die Entstehung und den Inhalt unseres Universums bekannt? Ein großes NEIN ist die Antwort. Denn genaugenommen wissen wir bis heute nicht, was die "Dunkle Materie", die den Großteil der Masse des Universums ausmacht und allein durch Gravitation mit gewöhnlicher Materie wechselwirkt, eigentlich genau ist. Aber das ist eine eigene Geschichte, über die ich vielleicht mal später was schreibe.

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Simon Singh: Big Bang, dtv
Marcia Bartusiak: The day we discovered the universe, Pantheon Books

Ich habe gelesen: "Denken Sie selbst! Sonst tun es andere für Sie" von Vince Ebert

Da es ja praktisch unendlich viele Bücher gibt, jedoch die Ressourcen eines Doktoranden beschränkt sind, ist der Kauf eines Buches stets eine wichtige Investitionsentscheidung für mich. Eigentlich, denn kurz vor meiner Rückfahrt nach Delft bin ich nur zufällig über "Denken Sie selbst! Sonst tun es andere für sie" von Vince Ebert gestolpert. Nun, wer Vince Ebert noch nicht kennt: Er ist neben Oskar Lafontaine und Angela Merkel der dritte Diplom-Physiker, der in Deutschland auf dem Gebiet des Kabaretts und der Comedy recht erfolgreich ist.

Nun gut, also zum Buch: Wieso soll man denn überhaupt denken? Amöben und Bakterien sind die erfolgreichsten Spezies auf der Erde, und die kommen ja bekanntlich ohne viel Verstand aus. Oder hat jemand schon einmal ein Kolibakterium beim Schrödingergleichunglösen beobachtet? Das ist mehr oder weniger der Einleitungsgedanke zum Buch. Danach geht es dann auf einer Rundreise durch die Untiefen der (Un)logik -- zum Beispiel, dass es statistisch gesehen mehr als fragwürdig ist, Lotto zu spielen und wieso technische Anleitungen immer so sind, dass sie nur ein Entwicklungsingenieur verstehen kann.

Ich will jetzt nicht zu viel verraten, aber das Buch hat mir eine ansonsten total verkorkste Heimfahrt aufgeheitert (in Mannheim stellte sich raus, dass mein Zug nach Amsterdam nur bis Köln fährt, der Anschlusszug in Köln hatte ein paar Macken, so dass er in Arnhem schlussendlich liegen blieb). Nur ein Kritikpunkt an Herrn Ebert: Früher, zu seinen Studentenzeiten, mögen vielleicht die Physiker wattierte Nylonjacken auf Partys getragen haben. Heute trägt man dazu verratzte Kaputzenpullies und schlecht sitzende Jeans.

Ich habe gelesen: Freakonomics

In den letzten Monaten etablierte sich das Ökonomen-Bashing quasi als Kaffeepausenunterhaltung in unserer Arbeitsgruppe. Es ging sogar so weit, dass wir ein Bankenbankrottgeh-Tippspiel aufziehen wollten...

Nun, Chris hat mir neulich "Freakonomics" von Steven Levitt und Stephen Dubner ausgeliehen. Und da jetzt Wochenende war und ich immer noch halbkrank bin, hatte ich genug Zeit zu lesen. Eigentlich sagt der Untertitel "A rogue economist explores the hidden side of everything" schon viel über das Buch. Es geht nicht um irgendein grosses, zusammenhängendes Thema, sondern die Autoren zeigen auf, dass offensichtliche Erklärungen oft nicht die volle Wahrheit sind. So zum Beispiel die Wohl kontroverseste Aussage des Buches, das der Rückgang der Gewaltkriminalität der letzten zehn Jahre in den USA nicht durch strengere Gesetze bewirkt wurde, sondern mit der Legalisierung von Abtreibungen Anfang der 70er Jahre. Und so geht es weiter durch das Buch, von Beispiel zu Beispiel. Zum Beispiel: Wieso leben die meisten Crack-Dealer noch bei ihren Müttern? Die Antwort: Auf den untersten Stufen der Ganghierarchie sind die Verdienste nicht viel besser als wenn man Burger braten würde, bei ungleich höheren Risiken (das Todesrisiko eines Gangmitglieds ist auf der Strasse höher als im Todestrakt..). Doch falls man es nach oben schafft, dann sind die Gewinne enorm.

Nun, als Fazit würde ich sagen: Ganz nettes Buch, mit amüsanten Fallstudien, die einen auch zum Nachdenken anregen. Allerdings ist es auch kein Buch, das einen die Wirtschaft im Allgemeinen besser verstehen läßt, außer eben der Erkenntnis, dass schnelle Erklärungen oft nicht ausreichen und man ein bisschen tiefer im Datenwust graben muss.