Stefans Abenteuer im Land der fehlenden Berge und in der Physik
Über mich
StefanIch bin seit Juni 2007 Doktorand an der TU Delft, Niederlande. Neben (theoretischer) Physik interessiere ich mich für Politik, Bücher aller Art und Radfahren. Für weiteres, siehe meine Homepage.

Sonntag, 14. März 2010

Russel, Cantor, Gödel und Kollegen

Comics sind nur etwas für Kinder. Alle Comics? Nein, denn man kann ja auch komplexere Geschichten als gallisches-Dorf-verprügelt-Römer erzählen. So erzählt zum Beispiel Logicomix die Geschichte, wie die Grundlagen der Mathematik gelegt wurden in der Form eines Comics. Das hört sich jetzt nach einer wirklich uralten (Euklid, Pythagoras und die ganzen Griechen und so) und staubtrockenen (Mathe löst ja bei vielen schon einen Fluchtreflex aus) Geschichte an, ist aber weder das eine noch das andere. Denn genaugenommen war bis ins neunzehnte Jahrhundert hinein die Mathematik mehr oder weniger auf Sand gebaut. Denn zum Beispiel war der Begriff "unendlich" nur so definiert, wie wir Physiker ihn noch heute gebrauchen -- eben als verdammt große Zahl. Und so sind die Grundlagen der Mathematik eine doch Recht neue Geschichte.

Auftritt Cantor: Cantor entwickelte gegen Ende des neunzehnten Jahrhundert die Mengentheorie. Wobei eine "Menge" eine in Cantors Worten wie folgt definiert ist:
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen.

Zwei Mengen haben nun die gleiche Anzahl von Elementen -- man spricht hier auch von "Mächtigkeit" -- wenn man jedem Element der einen Menge eindeutig ein Element der anderen Menge zuordnen kann. So gelang es Cantor zu zeigen, dass es verschiedene Arten von Unendlichkeit gibt. So hat zum Beispiel die Menge aller geraden Zahlen die gleiche Mächtigkeit wie die Menge aller ganzen Zahlen (Integer), da man jeder geraden Zahl ja eine ganze Zahl zuordnen kann -- zwei ist die erste gerade Zahl, vier die zweite und so weiter. Somit ist also die Menge der geraden Zahlen "abzählbar". Ist das nun schon alles? Nein, denn es gibt Mengen, die "überabzählbar" sind, also Mehr Elemente haben als die natürlichen Zahlen. Beispiel gefällig? Zum Beispiel alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Das kann man einfach durch "reductio ad absurdum" beweisen. Sprich, wir zeigen, dass wenn wir die Aussage als wahr annehmen, in einen Widerspruch geraten. Nehmen wir also an, wir könnten also alle rellen Zahlen zwischen 0 und eins abzählen. So zum Beispiel: 0.234324324 ...-> 1, 0.483543859...-> 2, 0.7777777777... -> 3 und so weiter. Nehmen wir uns jetzt die Zahl vor, deren erste Ziffer um eins größer ist als die erste Ziffer der ersten Zahl, die zweite Ziffer um eins größer ist als die zweite Ziffer der zweiten Zahl usw., sprich 0.398... Haben wir diese Zahl schon gezählt? Nein, diese Zahl stimmt nie mit allen Ziffern der gezählten Zahlen überein. Daher muss es also mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen geben. Und damit war auch gezeigt, dass "unendlich ist eine verdammt große Zahl" nicht eine mathematisch Korrekte Definition ist.

Mit der Mengentheorie kommen wir auch zu Bertrand Russel, der so etwas wie die Hauptperson von Logicomix ist. Genaugenommen bildet ein von ihm gehaltener Vortrag, in dem er sowohl sein eigenes Leben als auch die Entwicklung der mathematischen Grundlagen betrachtet, den Rahmen der ganzen Geschichte. Der Comic folgt ihm bei seinen Besuchen bei Cantor und Frege (einem anderen Grundsteinleger der Mathematik) und seinen eigenen Forschungen dazu. Denn die Mengenlehre half zwar, genau zu definieren, was unendlich bedeutet, doch ein neues Problem wurde durch Russel entdeckt: Russels Paradox. Denn nach dem damaligen Stand der Dinge, gerät man in Widersprüche, wenn man die Menge aller Mengen betrachtet, die sich nicht selbst enthalten. Denn diese Menge müßte sich ja dann auch selbst enthalten. Autsch, da scheint etwas nicht zu stimmen. Russels Beitrag zur Mathematik bestand nun darin, diesen Widerspruch zu lösen und in ungefähr vierhundert Seiten der "Principia Mathematica" zu beweisen, dass 1+1=2 ist. Das aber sauber und logisch konsistent.

Logicomix und auch die Entdeckung der Grundlagen der Mathematik schließen mit Kurt Gödel, der 1935 seinen "Unvollständigkeitssatz" bewies. Anfang des Jahrhunderts hatte David Hilbert noch vorgeschlagen, dass man die Widerspruchsfreiheit logischer Systeme beweisen sollte. Sprich, zu beweisen, dass es man rein hypothetisch jede Aussage beweisen oder wiederlegen kann. Doch Gödel konnte nun zeigen, dass jedes System von Axiomen (Grundannahmen) Aussagen zuläßt, die weder bewiesen noch wiederlegt werde können.

Nun, um zu einem Schluss zu kommen: Ich fand Logicomix richtig unterhaltsam und habe vielleicht noch das ein oder andere (wieder)gelernt. Auf jeden Fall erfährt man einiges über Mathematik und diejenigen, die selbige betreiben. Und da es ja ein Comic ist, ist es einfach zu lesen. Leider zu einfach, denn ein knapper Nachmittag reicht um einmal Logicomix durchzulesen.
Und für mathematische Laien, die bis hierher gekommen sind: Es ist sicherlich kein Fachbuch -- dennn DAS wäre sicherlich revolutionär, ein Fachbuch in comicform.
----------------------------------------
Apostolos Doxiadis, Christos Papadimitriou, Alecos Papadatos, Anni de Donna: Logicomix, Bloomsbury Publishing

www.logicomix.com

1 Kommentare:

Michael Nock hat gesagt…

Am Wochenende habe ich etwas zum Thema passendes gelesen:
http://www.maa.org/devlin/LockhartsLament.pdf

Ich meine, dass Lockhart's Wehklage in aehnlicher Form auf viele Bereiche der/unserer Kultur zutrifft. Manche moegen mich als Pessimisten abtun, aber da kann ich nur erwidern, dass ich das nicht als nur schlecht empfinde. Es hat noch niemandem geholfen, eine unbequeme Wahrheit zu ignorieren, allerdings haben darin menschliche Gehirne ja offenbar die Meisterschaft errungen.